有限数学例

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$

ステップ 1

$f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ を方程式で書きます。

$y = \log_{2} (x - 8) + 5$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \log_{2} (y - 8) + 5$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\log_{2} (y - 8) + 5 = x$ として書き換えます。

$\log_{2} (y - 8) + 5 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$\log_{2} (y - 8) = x - 5$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\log_{2} (y - 8) = x - 5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$2^{x - 5} = y - 8$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $y - 8 = 2^{x - 5}$ として書き換えます。

$y - 8 = 2^{x - 5}$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = 2^{x - 5} + 8$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ が $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$

ステップ 5.2.3

$2^{(\log_{2} (x - 8) + 5) - 5} + 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8) + 0} + 8$

ステップ 5.2.3.2

$\log_{2} (x - 8)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = 2^{\log_{2} (x - 8)} + 8$

ステップ 5.2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x - 8 + 8$

ステップ 5.2.5

$x - 8 + 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x + 0$

ステップ 5.2.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\log_{2} (x - 8) + 5) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (2^{x - 5} + 8)$ の値を求めます。

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$

ステップ 5.3.3

$\log_{2} ((2^{x - 5} + 8) - 8) + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$8$ から $8$ を引きます。

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5} + 0) + 5$

ステップ 5.3.3.2

$2^{x - 5}$ と $0$ をたし算します。

$f (2^{x - 5} + 8) = \log_{2} (2^{x - 5}) + 5$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $x - 5$ を移動します。

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \log_{2} (2) + 5$

ステップ 5.3.4.2

$2$ の対数の底 $2$ は $1$ です。

$f (2^{x - 5} + 8) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

ステップ 5.3.4.3

$x - 5$ に $1$ をかけます。

$f (2^{x - 5} + 8) = x - 5 + 5$

ステップ 5.3.5

$x - 5 + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.5.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f (2^{x - 5} + 8) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (2^{x - 5} + 8) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$ は $f (x) = \log_{2} (x - 8) + 5$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 2^{x - 5} + 8$

有限数学 例

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